根轨迹法

根轨迹法的目标：弄清闭环特征根在 $s$$s$ 平面上的分布以及与系统参数的关系，弄清系统中的参数变化时特征方程的根在 $s$$s$ 平面上的运动轨迹，掌握系统的基本特性。

传递函数的根轨迹形式 v.s. 尾一型：

画根轨迹用前者，画波特图或者求稳态误差系数用后者。

根轨迹的幅值和相角条件

考虑系统 ${\displaystyle \mathrm{\Phi }(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}}$$\displaystyle \Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$，其根轨迹方程可以写为：

满足：

由于幅值条件与 $K_r$$K_r$ 有关，相角条件与 $K_r$$K_r$ 无关，所以 相角条件是根轨迹的充要条件。相角条件可以表述为，根轨迹上的点到零点的夹角减去到极点的夹角为 $\pi$$\pi$ 的奇数倍（可以直接取 $\pi$$\pi$）。

绘制根轨迹的基本规则

设系统的极点数为 $n$$n$，零点数为 $m$$m$，则：

1. 根轨迹的起点 为系统的开环极点；根轨迹的终点 是系统的开环零点或无穷远点.

2. 根轨迹的起止点和渐近线：根轨迹从 $n$$n$ 个开环极点处出发，其中 $m$$m$ 条到 $m$$m$ 个开环零点处终止，另外 $n-m$$n-m$ 条将趋于无穷远处。这 $n-m$$n-m$ 条根轨迹沿着渐近线区域无穷远：

   夹角为：

   $$\varphi =\frac{\pm {180}^{\circ }(2k+1)}{n-m}(k=0,1,2,\cdots )$$

   与实轴交点坐标为：

   $$\sigma =\frac{\sum _{i=1}^m{z}_i-\sum _{j=1}^n{p}_j}{n-m}$$

3. 根轨迹的分离点和汇合点：

   令开环传递函数为：

   $$G(s)H(s)=\frac{K_{r}D(s)}{N(s)}$$

   则分离点（汇合点）的条件为：

   $$N(s)D^{\prime }(s)-N^{\prime }(s)D(s)=0\frac{\mathrm{d}{K}_r}{\mathrm{d}s}=0$$

   注，可以直接使用计算器列出 $N(s)D^{\prime }(s)-N^{\prime }(s)D(s)=0$$N(s)D'(s)-N'(s)D(s)=0$ 的表达式，然后牛顿迭代求解。

   第二种方法称为 开环零极点法：

   $$\sum _{i=1}^n\frac{v_i}{d-p_i}=\sum _{i=1}^m\frac{u_i}{d-z_i}$$

   其中 $v_i,u_i$$v_i,u_i$ 代表极点和零点的重数。

4. 根轨迹在复数极点处的出射角和复数零点处的入射角：

   利用根轨迹的相角条件推导，计算此时的点到极点的夹角之和减去到零点的夹角之和，记为 $\theta$$\theta$.

   • 出射角为 $\pi -\theta$$\pi-\theta$.

   • 入射角为 $\pi +\theta$$\pi+\theta$.

5. 根轨迹与虚轴的交点：代入纯虚根的条件或者使用劳斯判据。

注：使用计算器验证根轨迹，利用幅角条件，只需输入 $G(s)H(s)$$G(s)H(s)$ 检查其是否是一个负实数。（根轨迹的检查）

特殊情况绘制根轨迹 由于根轨迹本质上是求特征方程解的轨迹，只需要写成特征方程 $1+G(s)H(s)=0$$1+G(s)H(s)=0$ 的形式即可。

根轨迹分析 本质上是关心根的分布对系统稳定性、动态性能、稳态性能的影响。

• 根轨迹与稳定性：需要 $K$$K$ 对应的这部分根轨迹全部位于虚轴左边；

• 根轨迹与动态性能：

  • 系统响应是单调的，对应根都位于负实轴上；

  • 系统响应衰减振荡，说明存在一对共轭复数的主导极点。

• 根轨迹与稳态性能：

  • 增加开环零点，将使根轨迹向左半 $s$$s$ 平面移动，将提高系统的稳定性；增加开环零点会吸引根轨迹朝着零点方向运动，零点越小，程度越明显。

  • 增加位于 $s$$s$ 左半平面的开环极点，将使根轨迹向右半平面移动，系统的稳定性能降低；增加开环极点会排斥根轨迹朝着相反方向运动，极点越大，程度越明显。

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已知某负反馈系统的开环传递函数为：

1. 绘制 $K\ge 0$$K\ge 0$ 时的根轨迹草图（要求明确给出分支数、起点、终点、实轴上的根轨迹、渐近线、出射角、与虚轴的交点）

   极点为 $s_p=-10,-1\pm 1j$$s_p=-10,-1\pm 1j$.

   • 极点数 $n=3$$n=3$，零点数 $m=0$$m=0$

   • 分支数为 $n=3$$n=3$

   • 实轴上的根轨迹要求右边有奇数个极点，也就是 $(-\mathrm{\infty },-10)$$(-\infin,-10)$.

   • 渐近线夹角：

     $$\pm \frac{k\pi }{n-m}=0^{\circ },\pm {60}^{\circ }$$

     与实轴交点：

     $$\sigma =\frac{\sum s_p-\sum s_z}{n-m}=-4$$

   • 出射角：

     $${180}^{\circ }+\sum \text{到}\text{零}\text{点}\text{的}\text{角}\text{度}-\sum \text{到}\text{极}\text{点}\text{的}\text{角}\text{度}={83.7}^{\circ }$$

   • 与虚轴的交点：

     $$D(s)=s^3+12s^2+22s+20+K=0$$

     列出劳斯表，得到 $K=244$$K=244$ 时临界稳定，此时对应 $s=\pm \sqrt{22}j$$s=\pm\sqrt{22}j$，是和虚轴的交点。

   

2. 在图中标出阻尼比 $\zeta =0.5$$\zeta=0.5$ 的闭环主导极点的位置。

   即 $1\pm 1j$$1\pm 1j$ 极点。

3. 基于所绘制的根轨迹，给出闭环系统稳定的 $K$$K$ 值范围。

   即 $0\le K<244$$0\le K<244$.

2

已知某负反馈系统的开环传递函数为：

1. 绘制 $K\ge 0$$K\ge 0$ 时系统的根轨迹草图（要求明确给出分支数、起点、终点、实轴上的根轨迹、分离点或者汇合点、渐近线）

   

2. 若要求闭环极点为非零实数，用根轨迹法确定 $K$$K$ 值的范围。

   轨迹位于汇合点/分离点之间，分别代入 $s=-2.38,-4.62$$s = -2.38, -4.62$ 求得对应 $K$$K$.

   $$s^3+11s^2+Ks+K=0$$
   $$K_1=35.38,K_2=37.618$$

   因此要求 $35.38<K<37.618$$35.38<K<37.618$.

3

一个单位负反馈系统的开环传递函数如下：

请画出相应闭环系统的根轨迹，并确定使得闭环系统稳定的 $K$$K$ 值范围。

要求：请画出渐近线、分离点/汇合点、与虚轴的交点，计算出射角/入射角等。

极点数为 $n=3$$n=3$，零点数为 $m=2$$m=2$.

1. 根轨迹有三条分支，其中有两条结束于零点，有一条发散。

   确定实轴上的根轨迹，在 $(-\mathrm{\infty },2)$$(-\infin,2)$ 存在根轨迹。

2. 渐近线：

   $$\varphi =\frac{(2k+1)\pi }{n-m}=\pi$$

   渐近线与实轴的交点：

   $$\sigma =\frac{\sum z_i-\sum p_i}{n-m}=0$$

3. 分离点/汇合点：

   解方程：

   $$N^{\prime }(s)D(s)-D^{\prime }(s)N(s)=0$$

   使用计算器得到 $s=0$$s=0$，只在 $s=0$$s=0$ 处存在分离/汇合。

4. 与虚轴的交点：

   如果用计算器解，不列劳斯表，直接代入 $s=j\omega$$s=j\omega$ 得到：

   $$G(s)=\frac{K(-{\omega }^2+2j\omega +8)}{-{\omega }^2(j\omega +2)}$$

   直接列出实部之比等于虚部之比，也就是：

   $$\frac{8-{\omega }^2}{-2{\omega }^2}=\frac{2\omega }{-{\omega }^3}$$

   使用计算器解得 $\omega =\pm 2$$\omega=\pm 2$，然后 $s=\pm 2j$$s=\pm 2j$ 代入 $1+G(s)H(s)=0$$1+G(s)H(s)=0$ 的方程可得：

   $$K=2$$

5. 计算出射角，入射角。

   由于极点位于实轴，没有出射角，计算零点处的入射角，直接利用相角条件也就是：

   $$\sum \mathrm{\angle }x-z_i-\sum \mathrm{\angle }x-p_j=\pi$$

   代入 $x=z_1+\delta$$x=z_1+\delta$ 解得：

   $$\theta =\pi +\sum \mathrm{\angle }x-p_j-\sum _{i\ne 1}\mathrm{\angle }x-z_i$$

   可得 $\theta ={380.70}^{\circ }$$\theta=380.70^\circ$，也就是极点 $-1+\sqrt{7}i$$-1+\sqrt{7}i$ 的入射角约为 ${21}^{\circ }$$21^\circ$. 对称分析 $-1-\sqrt{7}i$$-1-\sqrt{7}i$ 的入射角约为 $-{21}^{\circ }$$-21^\circ$.

   

计算使得系统闭环稳定的 $K$$K$ 值范围，也就是：

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已知系统开环传递函数为

变换为：

令 $K^{\ast }=0.5K$$K^*=0.5K$，$K^{\ast }$$K^*$ 为根轨迹增益。

求出实轴上的根轨迹 $(-2,0)$$(-2,0)$ 和 $(-\mathrm{\infty },-2)$$(-\infin,-2)$，求出分离点和汇合点：

解得 $d_1=-1.17,d_2=-6.83$$d_1=-1.17,d_2=-6.83$. 此时对应的根轨迹增益分别为：

因此需要 $K\ge 23.32$$K\ge 23.32$ 或者 $K\le 0.68$$K\le 0.68$.

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根据根轨迹图分析 $K$$K$ 对系统单位阶跃响应的影响。

• 当 $0<K<1$$0<K<1$ 时，系统不稳定，单位阶跃响应发散；

• 当 $K>1$$K>1$ 时，系统稳定，单位阶跃响应收敛；

  • 当 $K>1$$K>1$ 基础上继续增大，系统的稳定性变好；

  • 当 $K\to \mathrm{\infty }$$K\to \infin$ 时，系统的阻尼比趋近于 $0.707$$0.707$，系统的调节时间减小，快速性得到改善。

注：阻尼比的问题，求根到负实轴的夹角 $\beta$$\beta$，然后阻尼比 $\zeta =\cos \beta$$\zeta=\cos\beta$.

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已知被控系统的开环传递函数为

当 $K$$K$ 从 0 变化到 $\mathrm{\infty }$$\infin$ 时，试画出闭环根轨迹（包括渐近线、渐近线倾角、渐近线与实轴交点，若存在会合点 和分离点，请给出它们的近似位置）。

确定使系统稳定的开环增益 $K$$K$ 的取值范围。

极点数 $n=4$$n=4$，分别为 $p_1=0,p_2=1,p_{3,4}=-2\pm j\sqrt{12}$$p_1=0,p_2=1,p_{3,4}=-2\pm j\sqrt{12}$.

零点数 $m=1$$m=1$，为 $z_1=-1$$z_1=-1$.

1. 确定实轴上的根轨迹在 $(-\mathrm{\infty },-1)$$(-\infin,-1)$ 和 $(0,1)$$(0,1)$ 之间；

2. 确定渐近线和实轴正方向的夹角分别为 $\pm {60}^{\circ }$$\pm 60^\circ$ 和 $-{180}^{\circ }$$-180^\circ$.

   与实轴交点为 ${\sigma }_a=-2/3$$\sigma_a=-2/3$.

3. 确定分离点和汇合点坐标，得到 $d_1=0.46,d_2=-2.22$$d_1=0.46,d_2=-2.22$.

4. 确定根轨迹与虚轴交点以及对应的增益 $K$$K$ 值。

   等于求解方程：

   $$\frac{1}{{\omega }^4-12{\omega }^2}=\frac{\omega }{{\omega }^3-16\omega }$$

   解得 ${\omega }_{1,2}=\pm 1.56,{\omega }_{3,4}=\pm 2.56$$\omega_{1,2}=\pm 1.56,\omega_{3,4}=\pm 2.56$.

   对应 $k_1=23.3,k_2=35.7$$k_1=23.3,k_2=35.7$. 注意开环增益需要化为尾一型，也就是：

   $$K_1=1.46s^{-1},K_2=2.23s^{-1}$$

5. 计算出射角。

根据根轨迹图，可知为了使得系统